Функции комплексного переменного

Утверждение 2.2

Арифметические свойства непрерывных функций

Условие

Однозначные функции f(z) и (z) непрерывны в точке z = a.

Утверждение

Функции f(z) ± (z), f(z) · (z), а при дополнительном предположении, что (z) ≠ 0, и функция , непрерывны в точке a.

Доказательство

По определению непрерывности,

∃f(z) = f(a),    ∃(z) = (a).

В силу утверждения 2.1, существуют пределы:

1) (f(z) ± (z)) = f(a) ± (a);

2) (f(z) · (z)) = f(a) · (a);

3) При дополнительном условии, что (z) ≠ 0, cуществует также предел:

То есть функции f(z) ± (z), f(z) · (z), а при дополнительном предположении, что (z) ≠ 0, и функция принимают точке z = a значения, совпадающие с их пределами в этой точке, следовательно, они непрерывны в z = a.