Несобственные интегралы с полюсами на оси

Пример 11.5

Вычислить интеграл

I = , α, a > 0.

В силу формулы Эйлера, I = Re I₁ = Re .

Рассмотрим функцию комплексной переменной f(z) = . Она удовлетворяет требованиям утверждения 11.1:

1) f(z) аналитична в верхней полуплоскости Im z > 0, за исключением конечного числа изолированных особых точек . В данном случае особая точка в верхней полуплоскости только одна z₁ = ia, которая является полюсом первого порядка.

2) f(z) имеет конечное число изолированных особых точек b_m, на прямой , все из которых являются полюсами первого порядка. В нашем случае — это единственная точка b₁ = 0.

3) f(z) 0 при z → ∞, Im z > 0 равномерно относительно arg z.

Поэтому