Несобственные интегралы

Пример 11.3

Вычислить интеграл I = dx. Рассмотрим функцию комплексной переменной f(z) = . Она удовлетворяет требованиям Леммы 11.2:

1) f(z) аналитична в верхней полуплоскости Im z > 0, за исключением конечного числа изолированных особых точек . В данном случае особых точек в верхней полуплоскости только две: z₁ = , z₂ = , и обе они являются полюсами первого порядка.

2) zf(z) 0 при z → ∞, Im z > 0 равномерно относительно arg z.

Поэтому

dz = 0.

Представим искомый интеграл I в виде:

I = ,

где C^R — замкнутый контур, состоящий из отрезка действительной оси [−R, R] и полуокружности C_R.