Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений

Пример 12.1

Решить преобразованием Лапласа задачу Коши:

y″ + y′ = 2e^x, y(0) = y′(0) = 1.

Пусть y(x) Y(p). Тогда, по свойству 3,

y′ pY(p) − y(0), а y″ p²Y(p) − py(0) − y′(0).

В силу данных Коши y(0) = y′(0) = 1, левая часть уравнения имеет изображение:

y″ + y′ p²Y(p) + pY(p) − p − 1 − 1 = p(p + 1)Y(p) − p − 2.

С другой стороны, правая часть (см. п. 4 таблицы), имеет изображение:

2e^x

Из двух последних соотношений получаем:

p(p + 1)Y(p) − p − 2 = ,

откуда

Y(p) =

Таким образом, Y(p) = . Возвращаясь к таблице изображений, пункт 4, видим, что

y(x) = e^x .

Таким образом, данная задача Коши имеет решение y(x) = e^x, а в силу единственности решения задачи Коши, других решений у неё нет.