Гармонические функции

Определение 4.3

Функция u(x, y) двух действительных переменных x и y называется гармонической в области D. Если в D выполнено равенство

При этом оператор Δ, стоящий в левой части, называется оператором Лапласа или Лапласианом.

Пример 4.2

Функции u = ax + by + c, υ = e^x sin y являются гармоническими в , а функция  = ln(x² + y²) в  \ {(0, 0)}.

Сопряжённые гармонические функции

Определение 4.4

Функции u(x, y) и υ(x, y) называются сопряжёнными гармоническими в области D, если

1) каждая из них гармонична в D: Δu = Δυ = 0;

2) в D выполнены равенства