Ряд Тейлора

По критерию Коши равномерной сходимости ряда (теорема 3.3) равномерной в D сходимости ряда f_k(ζ) следует равномерная в D сходимость ряда .

По интегральной формуле Коши и по теореме 7.1 о почленном интегрировании

Замечание 7.1

Как показывает это теорема, если ряд составлен из аналитических функций, то для правомерности его почленного дифференцирования достаточно лишь его равномерной сходимости. Это ещё одно существенное отличие аналитических функций от действительнозначимых функций действительных переменных, ведь для возможности почленного дифференцирования ряда обычных функций не достаточно его равномерной сходимости, а требуется равномерная сходимость ряд из производных.