Ряд Тейлора

Теорема 7.4

О почленном дифференцировании

Условие

∀ k ∈   f_k(z) аналитичны в односвязной области D. Ряд f_k(z) сходится равномерно в D.

Утверждение

Ряд f_k(z) можно почленно дифференцировать любое число раз:

Доказательство

Фиксируем z ∈ D произвольную точку и рассмотрим какой-нибудь контур C, окружающий z и лежащий в D. Поскольку при каждом (фиксированном!) m ∈ ограничено по модулю, то ряд также будет сходиться равномерно в D. Действительно, пусть = ρe^iα, тогда