Ряд Тейлора

Теорема 7.3

Об аналитичности суммы степенного ряда

Условие

Степенной ряд c_k(z − z₀)^k сходится в |z − z₀| < R.

Утверждение

Сумма ряда c_k(z − z₀)^k аналитична в |z − z₀| < R.

Доказательство

Функции c_k(z − z₀)^k аналитичны всюду в , а ряд c_k(z − z₀)^k сходится равномерно в круге |z − z₀| < r при всех r < R (утверждение 3.2). Поэтому в круге |z − z₀| < r можно применить теорему 7.2. Получим, что сумма степенного ряда аналитична в каждом из кругов |z − z₀| < r при всех r < R. Значит, она аналитична во всех точках круга |z − z₀| < R.