Ряд Тейлора
Теорема 7.8
О степенных рядах как рядах Тейлора
Условие
Степенной ряд 
cn(z − a)n сходится в круге {z: |z − a| < R} к некоторой функции S(z).
Утверждение
Функция S(z) является аналитической в круге {z: |z − a| < R}, и её ряд Тейлора с центром в точке z = a совпадает с рядом cn(z − a)n.
Доказательство
1) По теореме 7.3 сумма степенного ряда является аналитической функцией.
2) Продифференцируем k раз ряд S(z) = 
cn(z − a)n. Первые k слагаемые обратятся в нуль:
S(k)(z)= 
cn · n(n − 1) · ... · (n − k + 1)(z − a)n−k.
Подставим в полученное равенство z = a, чтобы обнулить все слагаемые, кроме первого с номером n = k:
S(k)(a) = ck · k(k − 1) · ... · (k − k + 1) = ck · k!
Отсюда, ck = 
. Поскольку число k мы брали произвольным, то все коэффициенты заданного степенного ряда совпадают с коэффициентами ряда Тейлора для функции S(z).
