Ряд Тейлора

Теорема 7.7

О представлении аналитической функции рядом Тейлора

Условие

f(z) аналитична в круге {z: |z − a| < R}.

Утверждение

Ряд Тейлора функции f(z) сходится к ней в этом круге, причём в любой замкнутой подобласти этого круга сходимость равномерна

f(z) = ,   {z: |z − a| < R}

(7.1)

Доказательство

Пусть функция f(z) аналитична в круге {|z − a| < R}.

Рассмотрим окружность C = {ζ: |ζ − a| = r} при некотором r < R.

Фиксируем произвольную точку z ∈ {|z − a| < r} и выпишем цепочку равенств: