Теория функций комплексного переменного
IV семестр Ряд Лорана Ряд Лорана
Скачать Содержание

Ряд Лорана


Рассмотрим кольцо

K = {z: r′ < |za| < R′},

где r < r′ < R′ < R, целиком лежащее в K. Заметим, что мы выбрали K так, чтобы и фиксированная в начале доказательства точка z, и окружность γ попали внутрь K.

Обозначим окружности, ограничивающие кольцо K, через

с = {z: |za| = r′} и C = {z: |za| = R′}.


Поскольку функция f(z) аналитична в K и на её граничных контурах c и C, то мы имеем право воспользоваться интегральной формулой Коши (теорема 6.5). Итак, zK

f(z) =

(8.4)

где обе окружности c и C проходятся против часовой стрелки.

Далее, так как для произвольной окружности γ радиуса ρ: r′ < ρ < R с центром в точке z = a функция f(z) аналитична в области, содержащей c, γ и C, то следующие три интеграла равны:

(8.5)

(В самом деле, чтобы убедиться, что равны, например, два последних интеграла в (8.4), надо рассмотреть область, ограниченную контурами γ и C, применить в ней интегральную теорему Коши).

Теперь рассмотрим ряд из (8.1) в произвольной фиксированной точке zK.