Пьезоэлектрические константы

Пьезоэлектрические свойства преобразователей характеризуются следующими константами, связывающими электрические и механические величины в прямом и обратном пьезоэффектах:

Пьезоконстанта давления $g_{ik}$, связывающая напряжённость электрического поля $E_{i}$ с величиной механического напряжения $T_{k}$:

$$E_{i}=\sum_{k=1}^6g_{ik}T_{k}=g_{ik}T_{k},i=1,2,3.$$

(10.4)

Размерность константы $[g_{ik}]=(В\cdot м)/\mathrm{H}$. Индекс $i$ характеризует направление ориентации электрического поля (оно определяется расположением электродов на поверхностях пьезоэлемента), а индекс $k$ — направление воздействия механических напряжений, причём для нормальных напряжений в направлении пространственных осей используют индексы $1, 2, 3,$ а для сдвиговых в тех же направлениях — индексы $4, 5, 6$. По значению пьезоконстанты можно рассчитать электрическое напряжение на электродах пьезоэлемента при известном силовом воздействии.
Пьезоконстанта деформации $h_{ik}$, определяющая величину напряжённости электрического поля при единичной деформации пьезоэлемента:

$$E_{i}=h_{ik}S_{k},i=1,2,3; k=1,2,3,4,5,6.$$

(10.5)

Размерность $[h_{ik}]=В/м.$
Пьезомодуль $d_{ik}$, дающий величину деформации пьезоэлемента в направлени $i$, вызванной электрическим полем единичной напряжённости в направлении $k$:

$$S_{i}=d_{ik}E_{k},i=1,2,3,4,5,6;k=1,2,3.$$

(10.6)

Размерность $[d_{ik}]=м/В.$
Пьезоэлектрическая константа $e_{ik}$, характеризующая механические напряжения в пьезоэлементе при возбуждении в нём электрического поля единичной напряжённости (размерность пьезоконстанты $[e_{ik}]=H/(B\cdot м)$):

$$T_{i}=e_{ik}E_{k},i=1,2,3,4,5,6; k=1,2,3.$$

(10.7)

Существуют ещё четыре соотношения, из которых могут быть определены константы $g_{ik},e_{ik},h_{ik},d_{ik}$. Так, пьезомодуль $d_{ik}$ является коэффициентом пропорциональности между электрической индукцией $D_{i}$ и механическим напряжением $T_{k}$ в соответствии с уравнением, описывающим прямой пьезоэффект:

$$D_{i}=d_{ik}T_{k}$$

(10.8)

Следовательно, пьезомодуль может быть определён из соотношений:

$$D_{ik}=\left( \frac{dD_{i}}{dT_{k}}\right)_{E}=\left( \frac{dS_{i}}{dE_{k}}\right)_{T}$$

(10.9)

Индексы при производных означают условия, при которых возможно определение значений пьезомодуля: $E$ — постоянство напряжённости электрического поля, $T$ — постоянство механических напряжений. Последнее условие означает, что приведённые соотношения справедливы для квазистатических деформаций, когда $T_{i}=const,S_{i}=const$ во всём объёме пьезоэлемента. Это соблюдается тогда, когда частота возбуждения значительно меньше низшей резонансной частоты $f_{r}$ пьезоэлемента, определяемой исходя из условия возникновения в нём стоячей волны:

$$l=\lambda /2=c/2f_{r},$$

(10.10)

где $l$ — характерный размер датчика, например его толщина, на которой укладывается половина длины волны; $c$ — скорость звука в материале преобразователя. Произведение $K_{f}=lf_{r}$ называют частотной постоянной, численно равной половине скорости звука в материале преобразователя.

Важнейшей характеристикой пьезоэлектрика является коэффициент электромеханической связи $K_{ЭМ}$, характеризующий эффективность преобразования электрической энергии в механическую и обратно. Квадрат $K_{ЭМ}$ равен отношению электрических напряжений на пьезоприёмнике и пьезоизлучателе при условии, что вся механическая энергия, сообщаемая окружающей среде пьезоизлучателем, воспринимается пьезоприёмником. Коэффициент электромеханической связи имеет различное значение для разных видов деформирования.

Среди других характеристик пьезопреобразователей укажем:

температуру Кюри $T_{k}$, при нагреве выше которой пьезоэлектрические свойства преобразователей исчезают;
скорость звука в материале датчика, определяемая константами упругости и плотностью материала;
относительную диэлектрическую проницаемость $ε _{отн}=\large{ε _{ik}^{T}/ε _{0}}$ материала пьезодатчика, определяющую его собственную ёмкость. Ёмкость $C_{0}$ пьезопластины толщиной $h$ и площадью одной стороны $S$ равна: $C_{0}=ε_{ik}^{T}S/h$.

На практике при использовании соотношений $(10.4)$ – $(10.9)$ следует иметь в виду следующее: пьезоэлементы из разных материалов, имеющие простую геометрическую форму (пластина, диск, стержень), определённым образом ориентированы относительно осей $X,Y,Z$, условно обозначаемых цифрами $1, 2, 3$. Пластина кварца, например, вырезается так, что ось $X$ кристалла (ось $1$) совпадает с её толщиной (кварц среза).

Пластина керамики ЦТС изготавливается так, что ось поляризации (ось $Z$, ось $3$) ориентирована перпендикулярно граням, на которые нанесены электроды, и тоже совпадает с толщиной пластины. Поэтому при колебаниях преобразователей вдоль оси $Z$ ориентация механических напряжений и электрических полей совпадают. Соответственно совпадают и индексы $i$ и $k$ в соотношениях для пьезоконстант.

Например, прямой пьезоэффект для кварцевой пластины $X$-среза, деформируемой по толщине (смотри рисунок), в статическом режиме описывается выражением:

$$u_{1}=E_{1}h=h_{11}hT_{1},$$

(10.11)

где $u_{1}$ — разность потенциалов, возникающая на электродах; $E_{1}$ — напряжённость электрического поля в пластине; $h$ — толщина пластины; $T_{1}$ — механическое напряжение, деформирующее пластину; $g_{11}$ — пьезоэлектрическая константа давления кварца. Поскольку соотношение $(10.11)$ справедливо для режима работы пьезопреобразователя с разомкнутыми электродами (или их замыкании на очень большое сопротивление), то пьезоконстанта давления $g_{11}$ характеризует чувствительность пьезоприёмника к давлению в режиме холостого хода. Для регистрации сдвиговых напряжений используют кварцевые пластины $Y$ — среза, которые характеризуются значениями констант $g_{14},d_{14},h_{14},e_{14}$.

В случае использования для регистрации механических напряжений и деформаций пьезокерамики типа ЦТС эффективно «работать» будут константы: $g_{33},d_{33},h_{33},e_{33}$. Так, величина деформации в пьезокерамической пластине толщиной $h$ при прикладывании внешней разности потенциалов $u$ определится из выражения:

$$S_{3}=d_{33}E_{3}=d_{33}\frac{u_{3}}{h}.$$

(10.12)

3/3