7.4. Фононы

Как и внутри молекул, атомы в кристалле совершают малые колебания около фиксированных положений равновесия. Колебания атомов распространяются по кристаллу в виде слабо взаимодействующих волн с волновыми векторами  и частотами . Физически нормальные колебания в кристаллах порождают волны деформации кристаллической решетки (то есть упругие волны). Таким образом, движение атомов в кристалле может быть описано как суперпозиция плоских волн различной частоты

каждой из которых соответствует гармонический осциллятор с частотой .

Следуя идеям де Бройля, такой упругой волне в кристалле можно сопоставить  квазичастицу с  энергией

и импульсом

.

Она носит название фонона.

Наше сопоставление можно схематически изобразить следующим образом:

Индекс i стоит для обозначения типа соответствующей волны (продольная, поперечная, характеризующаяся определенным законом дисперсии

и т. п.), или, как говорят, фононной моды. При квантово-механическом рассмотрении гармонический осциллятор данной фононной моды, как мы уже знаем, может иметь энергию

.

При  мы имеем нулевые колебания с энергией

— фонона данной моды в твердом теле нет. При  мы имеем новое состояние с энергией возбуждения

— это и есть квазичастица фонон. При произвольном квантовом числе n_i энергия возбуждения равна

.

В таком случае мы говорим, что в твердом теле распространяются i фононов данной моды i.

Используя полученные выше результаты, в случае термодинамического (теплового) равновесия можно найти среднее число фононов  с частотой . Действительно, мы уже нашли среднюю энергию  квантового осциллятора (см. (7.6), где частоту  надо заменить теперь на частоту упругой волны ). С другой стороны, эту же энергию можно представить в виде (7.6)

.

Приравнивая эти выражения, получаем

При низких температурах

среднее число фононов экспоненциально убывает при T, стремящемся к 0: в системе не возникает возбуждений. Наоборот, при высоких температурах

экспоненту в знаменателе можно разложить в ряд Тейлора и получить результат

.

Следовательно, из полученного соотношения вытекает, что при достаточно высокой температуре в кристалле может одновременно возбуждаться неограниченное количество одинаковых фононов, то есть принцип Паули на фононы не распространяется. Напомним, что кванты электромагнитного поля — фотоны, находящиеся в состоянии равновесия со стенками полости, также подчиняются этому распределению.

Представление о фононах широко используется в физике твердого тела. Фононы называют квазичастицами, поскольку они хотя и вполне реальны, но существуют только в кристаллах: вне среды их нет. Идея существования квазичастиц была впервые выдвинута Л.Д. Ландау в 40-х годах прошлого века. Кроме фононов есть и другие типы квазичастиц. Тепловые колебания решетки можно рассматривать как фононный газ, при низких температурах — идеальный. При очень высоких температурах решетка плавится и модель невзаимодействующих фононов неприменима: они перестают быть свободными. Преимущество представления о фононах состоит в том, что в его рамках свойства твердого тела рассматриваются как свойства ансамбля большого числа независимых квазичастиц — фононного газа. Все представления этой модели могут быть использованы для описания поведения кристаллической решетки.

Можно рассматривать также взаимодействие обычных частиц (электронов, фотонов) с фононами. Так, электроны, обмениваясь фононами, испытывают притяжение. Несмотря на кулоновское отталкивание, может даже образоваться связанное состояние пары электронов. Подобный механизм ведет к явлению сверхпроводимости (будет рассмотрено далее).

Ранее мы обсуждали комбинационное рассеяние света кристаллами. Этот процесс можно трактовать как процесс взаимодействия фотона с газом фононов. Фотон, пролетающий через кристаллическую решетку, может возбудить в ней фонон одной из частот оптической моды кристалла. При этом фотон полностью поглощается кристаллической решеткой, потом излучается новый фотон, но уже с меньшей энергией, так часть энергии остается в кристаллической решетке в виде рожденного в ней фонона — возникает красный спутник: фотон с меньшей  энергией. Если в кристалле уже был возбужден фонон, то возможен и обратный обмен энергией:  пролетающий фотон, в результате поглощения и нового рождения может увеличить свою энергию за счет энергии фонона; в таком случае возникает фиолетовый спутник: фотон с большей энергией.

Мы уже убедились, что число фононов в твердом теле не постоянно. Фононов тем больше, чем интенсивнее тепловое движение атомов, то есть чем выше температура. При высоких температурах число фононов пропорционально температуре, а с приближением к абсолютному нулю их число стремится к нулю экспоненциально.