2.5. Сферические волны

В предыдущих разделах мы рассматривали специальный тип волн: фаза

зависела только от координаты х.

Для изученных нами волн колебания среды одинаковы во всех точках плоскости, ортогональной направлению распространения волны (мы выбрали его в качестве оси х). Иными словами, фронт волны является плоскостью, параллельной плоскости, содержащей оси у, z. Фронт бегущей волны перемещается с течением времени вдоль оси х с фазовой скоростью v. Такие волны называются плоскими.

Трехмерное волновое уравнение

Пусть мы по-прежнему имеем дело с плоской волной. Повернем координатные оси так, чтобы направление распространения волны задавалось каким-то единичным вектором n. Решение, очевидно, имеет вид:

Соотношения между , k и  остаются прежними.

Фронт волны – плоскость, ортогональная волновому вектору k, – движется со скоростью v, оставаясь параллельным самому себе.

Найдем уравнение, которому удовлетворяет решение (2.65). Дважды дифференцируем выражение (2.65) по координатам х, у, z:

Складывая эти три уравнения, находим:

Вторая производная решения по времени имеет вид:

Учитывая соотношение

получаем из (2.67), (2.68):

Выражение в скобках в левой части уравнения является дифференциальным оператором, который называется лапласианом (или оператором Лапласа) и имеет специальное обозначение .

Записываем волновое уравнение для волн в трехмерном пространстве в окончательной форме:

Если волновая функция и зависит только от одной координаты (скажем, х), то лапласиан превращается во вторую производную по x, и мы возвращаемся к прежней форме волнового уравнения.

Подчеркнем, что  не есть греческая буква  («дельта»), а u не есть приращение величины u, но сумма вторых ее производных по координатам.

Но волновое уравнение (2.70) имеет и другие решения, нежели плоские волны. Простым дифференцированием можно убедиться, что сферическая волна

удовлетворяет волновому уравнению. Фронт волны является сферой с центром в месте расположения источника колебаний (r = 0), причем радиус сферы увеличивается со скоростью v.

Действительно, поверхность постоянной фазы дается уравнением

дифференцируя которое, находим

Амплитуда сферической волны

убывает с увеличением расстояния до точки наблюдения. Интенсивность волны

убывает по закону обратных квадратов. Это, как и закон Кулона, также связано с трехмерностью нашего пространства. Если среда не поглощает излучение, то поток энергии через поверхность сферы одинаков для сфер любых радиусов, окружающих источник излучения. Поскольку площадь сферы равна 4pr², то энергия, проходящая через единицу площади, обратно пропорциональна r².

 

Дополнительная информация

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/2920/%D0%A1%D0%A4%D0%95%D0%A0%D0%98%D0%A7%D0%95%D0%A1%D0%9A%D0%90%D0%AF – Сферическая волна. Материал из физической энциклопедии.

 

Стоя у полотна железной дороги, можно наблюдать следующее явление: сигнал приближающейся электрички резко меняет свой тон (частоту) в момент прохождения электрички мимо наблюдателя. Это же явление может заметить наблюдатель, сидящий в поезде и проезжающий мимо сигналящего автомобиля, стоящего на переезде.

На рис. 2.18 демонстрируется аналогичное явление при движении вертолета мимо наблюдателя.

Рис. 2.18. Изменение тона звука при движении вертолета мимо наблюдателя

Эффект назван по имени австрийского физика X. Доплера, предсказавшего его теоретически в 1842 г.

Движущийся наблюдатель, покоящийся источник звука. Пусть имеется источник звука, испускающий сферические звуковые волны. На рис. 2.19 показано расположение в пространстве четырех последовательных гребней (максимумов) звуковых волн. Пусть волна имеет частоту , тогда расстояние между гребнями равно длине волны

Рис. 2.19. Эффект Доплера при движении наблюдателя

Наблюдатель А движется прямо на источник звука со скоростью . Поэтому гребни волн приближаются к нему с увеличенной скоростью . С каждым последовательным гребнем волны наблюдатель встретится через время

после предыдущего. Следовательно, для него изменяется период колебаний. Наблюдаемая частота волны равна

откуда находим:

Наблюдатель В удаляется по прямой линии от источника с той же скоростью  (предполагаем, что , наблюдатель, удаляющийся от источника со сверхзвуковой скоростью, "убежит" от волны и вообще не услышит звука). Значит, гребни волн приближаются к нему со скоростью , и период колебаний равен

Отсюда получаем для наблюдаемой частоты:

Наконец, пусть наблюдатель Р движется со скоростью v_H, составляющей угол  с направлением на источник. На сдвиг частоты влияет только компонента скорости вдоль линии, соединяющей наблюдателя и источник:

Предыдущие формулы (2.72) и (2.73) для частных случаев получаются отсюда при  и , соответственно.

На рис. 2.20 с помощью модели демонстрируется эффект Доплера для случая покоящегося источника звука и движущегося наблюдателя.

Рис. 2.20. Моделирование эффекта Доплера при движении наблюдателя

Движущийся источник звука, покоящийся наблюдатель. Пусть теперь наблюдатель неподвижен, а звуковые волны испускаются источником, движущимся со скоростью . На рис. 3.21 показано расположение в пространстве четырех последовательных гребней звуковой волны, отмеченных цифрами черного цвета 1, 2, 3, 4.

Рис. 2.21. Эффект Доплера при движении источника

Эти гребни были испущены, когда источник звука находился в точках, отмеченных цифрами красного цвета 1, 2, 3, 4, соответственно. Иначе, точка 1 является центром сферы 1, точка 2 — центром сферы 2 и т. д. Видно, что центры соседних сфер смещаются на расстояние, проходимое источником за период колебаний

Это приводит к изменению расстояния между гребнями волн, приходящих к наблюдателю. Следовательно, наблюдатель регистрирует иную длину волны.

Наблюдатель А расположен так, что источник движется прямо на него. Для этого наблюдателя расстояние между гребнями волн уменьшается и равно

Скорость волны не зависит от движения источника, поскольку определяется свойствами среды. Следовательно, имеем обычную связь между длиной волны и ее фазовой скоростью:

Подставляя эти соотношения в (2.75), получаем

откуда находим частоту n  звука, воспринимаемого наблюдателем А:

Для наблюдателя В расстояние между гребнями волн увеличивается и равно

Аналогичные рассуждения приводят к следующему выражению для частоты звуковой волны:

Наконец, для наблюдателя Р, направление на которого составляет угол со скоростью источника, выражение для частоты имеет вид:

Предыдущие выражения получаются отсюда при  и  , соответственно.

Пример 1. Наблюдатель, стоящий на платформе железной дороги, слышит гудок проходящего мимо поезда. Когда поезд приближается, частота звуковых колебаний гудка равна , а когда поезд удаляется — . Определим скорость поезда V и собственную частоту гудка . Скорость звука v предполагается известной.

При скорости поезда V, скорости звука v и собственной частоте колебаний  частота , воспринимаемая при приближении поезда, равна

При удалении поезда воспринимаемая частота звука равна

Разделив первое соотношение на второе, получаем:

Отсюда находим скорость поезда:

Подставляя скорость поезда в выражение (2.79), получаем оттуда:

На рис. 2.22 с помощью модели демонстрируется эффект Доплера в случае движущегося источника звука и покоящегося наблюдателя.

Рис. 2.22. Моделирование эффекта Доплера при движении источника

 Движущийся источник звука, движущийся наблюдатель. Из полученных формул можно сделать общие выводы:

• приведенные выше формулы, как и сделанные, начиная со следующего пункта, выводы справедливы, когда скорости источника и приемника относительно среды много меньше скорости звука в данной среде, то есть при выполнении неравенств:   
• для изменения частоты воспринимаемого звука при движении источника или наблюдателя важны не абсолютные значения скоростей, а скорости сближения (удаления), то есть проекции скоростей на линию, соединяющую источник и наблюдателя;
• при сближении источника с наблюдателем частота звука увеличивается, при удалении — уменьшается;
• если движутся и источник, и наблюдатель, то следует объединить формулы (2.74) и (2.78), а также (2.72) и (2.76):

• в формуле (2.84), в соответствии со сказанным, под скоростями  и  надо понимать теперь не абсолютные скорости наблюдателя и источника, а их проекции на линию, соединяющую источник и наблюдателя: положительные знаки скоростей соответствуют сближению, отрицательные — удалению источника и наблюдателя.

Выражение (2.84) явным образом нарушает принцип относительности Галилея. В самом деле, скорость  сближения источника и наблюдателя есть сумма соответствующих проекций скоростей:

Согласно принципу относительности, все наблюдаемые эффекты должны зависеть только от . Формула же (2.84) позволяет отделить движение наблюдателя от движения источника. Для иллюстрации рассмотрим три примера.  Спешим успокоить читателя: это кажущееся недоразумение, его разъяснение приведено ниже в конце рассмотрения примера 4. С принципом Галилея всё в порядке.

Пример 2. Сирена полицейской машины, стоящей на обочине дороги, издает сигнал на частоте 1 000 Гц. Определим, какой частоты звук услышит водитель, проезжающий мимо со скоростью 80 км/час.

В данном случае скорость автомобиля V = 80 км/час = 22.2 м/с — это скорость наблюдателя. Скорость звука . При сближении с полицейской машиной водитель воспринимает звук частотой

После того как водитель миновал полицейскую машину, воспринимаемая частота становится равной

Пример 3. Водитель стоящей на обочине дороги машины замечает проезжающий мимо полицейский автомобиль с включенной сиреной. Найдем частоту звука, который слышит водитель, если скорость полицейского автомобиля равна 80 км/час. Полицейская сирена – та же самая, что и в предыдущем примере.

Здесь скорость V = 22.2 м/с — это скорость движения источника. При приближении полиции водитель слышит сигнал частотой

При удалении частота воспринимаемого сигнала равна

Пример 4. Те же машины едут навстречу друг другу с равными скоростями 40 км/час = 11.1 м/с. Найдем частоты звукового сигнала при сближении и при удалении машин.

Применяем формулу (2.84). При сближении воспринимается звук частотой

При удалении машин сирена для водителя звучит на частоте

Во всех трех случаях получились разные результаты, хотя каждый раз скорости сближения (удаления) наблюдателя и источника были теми же самыми. В то же время численные результаты близки друг к другу. Это объясняется тем, что скорости автомобилей в задаче малы по сравнению со скоростью звука. В этом случае в формуле (2.84) можно пренебречь членами

и более высоких степеней. Преобразуем (2.84):

Пренебрегая теперь слагаемыми, содержащими отношения квадратов скоростей, находим приближенное выражение:

В (2.85) частота зависит только от относительной скорости источника и наблюдателя. Если бы формула была точна, во всех трех задачах мы получили бы один и тот же ответ:

Формула (2.85) удовлетворяет принципу относительности Галилея, но она верна, строго говоря, только при бесконечно большой скорости сигнала. Нарушение принципа относительности Галилея связано с наличием среды. Действительно, при движении тел в среде можно отличить состояние покоя от прямолинейного равномерного движения хотя бы по возникающему при движении ветру. Поэтому системы отсчета при наличии среды не равноправны: из них выделена та, в которой среда как целое покоится.

Рассмотрим теперь случай, когда источник звуковых волн движется со скоростью, превышающей скорость звука: . Пусть в момент времени t = 0 источник был в точке S₀, а в момент t он находится в точке S_t (рис. 2.23). Расстояние между этими точками равно .

Рис. 2.23. Образование конуса Маха при сверхзвуковом движении источника

В каждой точке своей траектории (для простоты мы рассматриваем прямолинейное равномерное движение) источник испускал сферические звуковые волны. Волна, испущенная в момент t = 0, к текущему моменту времени t достигла точки А. Волны, испущенные на пути от S₀ до S_t ,успели пройти меньшие расстояния. Как видно из рис. 2.23, в данный момент времени имеется коническая поверхность (ее называют конусом Маха), касательная к фронтам всех испущенных сферических волн. Эта коническая поверхность начинается от источника звука, а ее ось совпадает с направлением движения источника. Конус Маха отделяет области пространства, куда дошел звук от источника, от тех областей, куда звук не успел еще дойти. В следующий момент времени  источник переместится в точку . Соответственно переместится и конус Маха, захватив новые области пространства (показано пунктирной линией).

Синус угла раствора конуса определяется как отношение расстояния , пройденного звуковой волной за время t, к расстоянию , пройденного источником за то же время:

Коническую поверхность можно воспринимать как фронт волны (ее называют ударной). Направление распространения волны — это нормаль к фронту. Следовательно, ударная волна распространяется под углом

к направлению движения источника. Соответственно, (2.86) можно записать в виде:

Пример 5. Самолет летит горизонтально на высоте 5 000 м с постоянной скоростью. Наблюдатель заметил его у себя над головой, и засек время. Звук от самолета появился через 11 с после этого. Найдем скорость самолета и определим, на каком расстоянии по горизонтали находится самолет от наблюдателя в момент, когда последний зарегистрировал приход звука от него?

За время t самолет удалился от наблюдателя на расстояние . Так как в этот момент звук достиг наблюдателя, то точка наблюдения оказалась на конусе Маха (рис. 2.24).

Рис. 2.24. К примеру 5. О пролете сверхзвукового самолета. Пунктирная линия – положение конуса Маха
в момент пролета самолета над головой, сплошная – конус Маха в момент,
когда звук дошел до наблюдателя

Имеем соотношения:

Отсюда:

Используя соотношение

получаем связь скорости самолета с высотой полета и временем t:

откуда:

Подставляем числовые данные:

Число Маха (здесь ) равно

При такой скорости движения самолет удалился по горизонтали на расстояние

Заметим, кстати, что момент прихода к наблюдателю фронта ударной волны воспринимается как резкий хлопок (подобный грому). Бытующее выражение «самолет преодолел звуковой барьер» неверно отражает физический процесс: хлопок, как мы видели, не связан с моментом, когда самолет приобрел сверхзвуковую скорость.

На рис. 2.25 демонстрируется прохождение ударной волны при движении сверхзвукового самолета.

Рис. 2.25. Прохождение ударной волны при движении сверхзвукового самолета

Проанализируем формулу (2.90). Видно, что время задержки t не может быть больше, чем

Такая задержка могла бы быть при очень большой скорости самолета (V>>v), когда конус Маха становится крайне узким, почти параллельным направлению движения. Фронту ударной волны, распространяющемуся вертикально вниз, надо при этом пройти расстояние h, что он и осуществляет за время .

Время задержки t = 0 соответствует случаю, когда скорость самолета равна скорости звука: V = v. При этом угол раствора конуса Маха становится равным  (рис. 2.26), так что ударная волна доходит до наблюдателя в тот самый момент, когда самолет оказывается у него над головой.

 

Рис. 2.26. Фронт ударной волны в случае движения источника со скоростью звука. В каждый момент времени t источник находится на поверхности всех сферических волн, испущенных ранее. Огибающая этих сферических волн – фронт ударной волны – представляет собой плоскость, ортогональную направлению движения источника

При дозвуковых скоростях звук опережает летательный аппарат и приходит к наблюдателю раньше самолета.