5.5. Дифракционная решетка

Широкое распространение в научном эксперименте и технике получили дифракционные решетки, которые представляют собой множество параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль щелей.

Рассмотрим сначала дифракцию света от решетки на примере двух щелей. (При увеличении числа щелей дифракционные максимумы становятся лишь более узкими, более яркими и отчетливыми.)

Пусть а — ширина щели, a b — ширина непрозрачного промежутка (рис. 5.6).

 

Рис. 5.6. Дифракция от двух щелей

Разность хода двух крайних лучей равна

Если разность хода равна нечетному числу полуволн

то свет, посылаемый двумя щелями, вследствие интерференции волн будет взаимно гаситься. Условие минимумов имеет вид

Эти минимумы называются дополнительными.

Если разность хода равна четному числу полуволн

то волны, посылаемые каждой щелью, будет взаимно усиливать друг друга. Условие интерференционных максимумов с учетом (5.36) имеет вид

Это формула для главных максимумов дифракционной решетки.

Видео 5.14 Дифракционные решетки с разными периодами.

Видео 5.15 Двумерные дифракционные решетки с разными периодами.

Кроме того, в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, то есть главные минимумы решетки будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (5.21) для одной щели:

Если дифракционная решетка состоит из N щелей (современные решетки, применяемые в приборах для спектрального анализа, имеют до 200 000 штрихов, и период d = 0.8 мкм, то есть порядка 12 000 штрихов на 1 см), то условием главных минимумов является, как и в случае двух щелей, соотношение (5.41), условием главных максимумов — соотношение (5.40), а условие дополнительных минимумов имеет вид

Здесь k' может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, ... . Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается (N–1) дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими относительно слабый фон.

Положение главных максимумов зависит от длины волны l. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный — наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Заметим, что в то время как спектральная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, наоборот, сильнее отклоняет красные лучи.

Важной характеристикой всякого спектрального прибора является разрешающая способность.

где  — минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Определим разрешающую способность дифракционной решетки. Положение середины k-го максимума для длины волны

определяется условием

Края k-го максимума (то есть ближайшие дополнительные минимумы) для длины волны l расположены под углами, удовлетворяющими соотношению:

Два близких максимума воспринимаются раздельно в том случае, если середина одного максимума совпадает с краем другого (критерий Рэлея).

Таким образом, середина максимума для длины волны

совпадает с краем максимума для длины волны l в том случае, если

Отсюда находим

Следовательно, разрешающая способность дифракционной решетки

пропорциональна порядку спектра k и числу щелей N.

 

Дополнительная информация

http://www.physics.spbstu.ru/forstudents/lectures/zaharov/19.pdf – Н.Г. Захаров. Практические занятия. Дифракция света.

http://allphysics.ru/feynman/difraktsiya – Фейнмановские лекции по физике. Дифракция.

http://physics.nad.ru/Physics/Cyrillic/optics.htm – Анимации: преломление света на границе стекло-воздух, дисперсия света в стеклянной призме, дифракция Фраунгофера.

http://pymath.ru/viewtopic.php?f=77&t=811&sid=63be0a3e99f9a32260b53dcfaad3c271 – Видеоурок «Дифракция Фраунгофера на щели».

http://pymath.ru/viewtopic.php?f=77&t=756&sid=63be0a3e99f9a32260b53dcfaad3c271 – Видеоурок «Постановка задачи дифракции на круглом отверстии Френеля».