3.5. Центр масс
Снова рассмотрим ту же систему материальных точек. Построим радиус-вектор 
по следующему правилу:
где 
— радиус-вектор 
— той материальной точки системы, а 
— ее масса.
Радиус-вектор определяет положение в пространстве центра инерции (центра масс) системы.
Вовсе не обязательно, что в центре масс системы окажется какая-то материальная точка.
Пример. Найдем центр масс системы, состоящей из двух маленьких шариков — материальных точек, соединенных невесомым стержнем (рис. 3.29). Такая система тел называется гантелей.
Рис. 3.29. Центр масс гантели
Из рис. видно, что
и
Подставляя в эти равенства выражение для радиус-вектора центра масс
получим
и
Отсюда следует, что центр масс лежит на прямой, проходящей через центры шаров. Расстояния l1 и l2 между шарами и центром масс равны соответственно
Центр масс ближе к тому шарику, масса которого больше, что видно из отношения:
Определим, с какой скоростью движется центр инерции системы. Дифференцируем по времени обе части:
В числителе полученного выражения в правой части стоит сумма импульсов всех точек, то есть импульс 
системы. В знаменателе стоит полная масса системы
Мы получили, что скорость центра инерции связана с импульсом системы и ее полной массой таким же соотношением, какое справедливо для материальной точки:
Видео 3.11. Движение центра масс двух одинаковых тележек, связанных пружиной.
Таким образом, можно считать, что скорость VC является скоростью системы как целого. Она, разумеется, может отличаться от скоростей каждого из тел, входящих в систему.
Центр масс замкнутой системы движется всегда с постоянной скоростью, поскольку импульс такой системы сохраняется.
Если продифференцировать теперь выражение для импульса системы по времени и учесть, что производная импульса системы есть равнодействующая внешних сил, то получим уравнение движения центра масс системы в общем случае:
Видно, что
Центр масс системы движется точно так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе всех частиц системы, под действием векторной суммы всех внешних сил, приложенных к системе.
Если имеется система материальных точек, внутреннее расположение и движение которых нас не интересует, мы вправе считать ее материальной точкой с координатами радиус-вектора центра инерции и массой, равной сумме масс материальных точек системы.
Если связать с центром масс замкнутой системы материальных точек (частиц) систему отсчета (ее называют системой центра масс), то полный импульс всех частиц в такой системе окажется равным нулю. Таким образом, в системе центра масс замкнутая система частиц как целое покоится, и существует только движение частиц относительно центра масс. Поэтому ясно выявляются свойства внутренних процессов, протекающих в замкнутой системе.
В случае, когда системой является тело с непрерывным распределением масс, определение центра масс остается по существу тем же. Окружаем произвольную точку 
в нашем теле небольшим объемом 
. Масса, заключенная в этом объеме, равна 
, где 
— плотность вещества тела, которая может и не быть постоянной по его объему. Сумма по всем таким элементарным массам заменяется теперь на интеграл по всему объему 
тела, так что для положения центра масс тела получается выражение
Если вещество тела однородно, плотность его постоянна, и ее можно вынести из-под знака интеграла, так что она сократится в числителе и знаменателе. Тогда выражение для радиус-вектора центра масс тела принимает вид
где — объем тела.
И в случае непрерывного распределения масс справедливо утверждение, что
Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием векторной суммы всех внешних сил,приложенных к телу.
Пример. Если снаряд взрывается в некоторой точке своей параболической траектории, то осколки летят по самым различным траекториям, но его центр масс продолжает движение по параболе.
