6.3. Преобразования Лоренца

Для объяснения отрицательного результат опыта Майкельсона — Морли была выдвинута интересная гипотеза. Сначала Дж. Фитцджеральд, а затем (независимо от него) Г.А. Лоренц попытались объяснить результат опыта тем, что эфирный ветер «давит» на тела и сокращает их размеры вдоль направления движения. Если это так, то в формулах для продольного распространения света в интерферометре надо заменить «истинную» длину пути L на некоторую другую величину L_||. Тогда формула для определения времени, затрачиваемого светом при распространении в направлении, параллельном орбитальной скорости Земли, примет вид

Для совпадения времен

достаточно тогда положить

Гипотеза Лоренца — Фитцджеральда казалась искусственной, изобретенной только для объяснения результатов одного эксперимента.

А между тем у физиков появилась еще одна трудность, не связанная с опытом Майкельсона — Морли. К этому времени сформировалась теория электромагнетизма, воплотившаяся в уравнения Максвелла. И оказалось, что уравнения Максвелла не инвариантны относительно преобразований Галилея. Это означало, что с помощью электромагнитного поля, казалось бы, можно сделать то, что не удалось в опытах Майкельсона — обнаружить движение инерциальной системы. Но тогда пришлось бы отказаться от принципа относительности Галилея, который выглядел весьма убедительно. К тому же свет, использованный в опытах Майкельсона-Морли, это частный случай электромагнитного поля.

Поэтому был поставлен вопрос: а как должны выглядеть преобразования координат от одной системы отсчета к другой, чтобы уравнения Максвелла были инвариантными? Ответ дал в 1904 г. Лоренц, и с тех пор эти преобразования называют его именем (хотя они появлялись ранее в работах других ученых — у В. Фохта в 1887 г. и у Дж. Лармора в 1900 г.).

Из уравнений Максвелла следует, в частности, что свет распространяется со скоростью c. Вернемся снова к двум инерциальным системам отсчета (см. рис. 6.1). Одну мы будем считать неподвижной (К-система). Пусть другая (К'-система) движется относительно К-системы с постоянной скоростью V. Для упрощения будем считать, что оси координат обеих систем параллельны, в начальный момент времени начала отсчета 0 и 0' совпадают, а затем точка 0' движется со скоростью V вдоль оси x. Пусть в начальный момент времени t = 0 из точки 0 (совпадающей с точкой 0' ) вдоль оси х излучается световой импульс. Уравнение его движения имеет вид

Таким же должно быть и его уравнение движения относительно системы отсчета К' :

Это — частный случай инвариантности уравнений Максвелла, но его рассмотрения достаточно, чтобы вывести преобразования Лоренца.

Мы будем рассуждать так же, как и при выводе преобразований Галилея, учитывая все, что успели с тех пор узнать. При преобразованиях Галилея координата x относительно системы отсчета K складывалась из положения начала отсчета системы K' (величина Vt) и координаты x'. Но сейчас мы уже не будем предполагать инвариантности длин и потому умножим x' на некий коэффициент γ. Иными словами, мы предполагаем пропорциональность длин в разных системах отсчета, но не их равенство. Тогда координата x какой-либо материальной точки связана с координатой x' этой же точки соотношением

Коэффициент γ пока неизвестен, а отрезок Vt — расстояние между точками 0 и 0' в момент времени t, измеряемый по часам системы K.

Если система K' движется относительно K со скоростью V, то система K движется относительно K' со скоростью –V. Ввиду равноправности обеих систем отсчета можно написать аналогичную связь между координатами:

Теперь отрезок Vt' — это расстояние между точками 0 и 0' в момент времени t', измеряемый по часам системы K'. Как видно, мы не предполагаем инвариантности интервалов времени, но и не отвергаем такую возможность: если наши уравнения допустят решение

то мы вернемся в лоно классической механики. Как мы увидим, этот вариант не реализуется.

Запишем прямые и обратные преобразования координат так, чтобы в левой и правой частях уравнений стояли координаты и времена, относящиеся к одной системе отсчета. Для этого выразим x через x', t' с помощью второго уравнения, подставим это выражение в первое уравнение и найдем оттуда t. Получаем в итоге:

Применим теперь полученные преобразования координат и времени к законам движения светового импульса в системе отсчета K. Подставим найденные выражения для x, t в уравнение движения светового импульса

Получим

откуда

Чтобы это уравнение имело вид

выражение в скобках должно быть равно единице, то есть

или

Подставляя выражение для γ в найденные выше преобразования координат и времени, получаем преобразования Лоренца. Их надо дополнить соотношениями

которые в точности совпадают с тем, что было в преобразованиях Галилея. Для получения обратных преобразований достаточно поменять знак у скорости V.

Величину

общепринято называть релятивистским фактором (множителем). С учетом этого обозначения преобразования Лоренца, оставляющие инвариантными уравнения теории электромагнетизма, имеют вид:

Обратные преобразования Лоренца имеют вид:

Видно, что в отличие от преобразований Галилея, здесь преобразуются не только пространственные координаты, но и время.