6.8. Релятивистское выражение для кинетической энергии

Итак, релятивистское уравнение движения материальной точки, или основное уравнение релятивистской динамики, имеет обычный вид уравнения второго закона Ньютона, но с другой зависимостью импульса от скорости:

Преобразуем приращение импульса в левой части этого уравнения:

Умножим основное уравнение релятивистской динамики скалярно на вектор перемещения

Справа мы имеем обычное выражение для изменения кинетической энергии тела:

Слева после учета, что

можно получить

Таким образом,

Следовательно, выражение в скобах справа с точностью до постоянной интегрирования представляет собой кинетическую энергию материальной точки, движущейся со скоростью v. Значение этой постоянной фиксируется условием, что К = 0 при v = 0.

Окончательно получаем релятивистское выражение для кинетической энергии

Или короче, используя релятивистский фактор :

При малых скоростях v << с мы можем разложить квадратный корень в ряд Тейлора по степеням отношения v/c. Оставляя первые два члена ряда, имеем

В этом приближении кинетическая энергия определяется классической формулой

Рис. 6.14. Зависимость кинетической энергии от скорости. а – релятивистское значение, b – классическое значение кинетической энергии.