7.2. Работа внешних сил при вращении твердого тела

Определим работу, которую совершают внешние силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси 00. Элементарная работа по перемещению элемента массой равна:

где — тангенциальная составляющая внешней силы , действующей на элемент массой (рис. 7.11).

Рис. 7.11. Работа сил при вращении твердого тела

Вспомним разложение силы

на вектор, параллельный оси вращения (примем ее за ось z), и вектор, ортогональный к ней. При вращении перемещение направлено по касательной к траектории, то есть, во-первых, лежит в плоскости вращения. Отсюда следует, что сила , направленная вдоль оси вращения, работы не совершает. Во-вторых, перемещение ортогонально радиусу окружности, описываемой данным элементом. Проекцию внешней силы на плоскость вращения в свою очередь можно разложить на слагаемые

Одно из них () направлено по радиусу, оно ортогонально перемещению и потому также не совершает работы. Работу совершает лишь проекция силы на касательное направление , фигурирующая в выражении для элементарной работы.

Путь можно записать как

Таким образом,

Заметим, что

где — введенное выше плечо силы.

Следовательно, мы выразили элементарную работу при перемещении элемента массой через проекцию момента внешней силы на ось вращения:

Поэтому элементарная работа при вращении всего твердого тела равна

где M есть полный момент всех внешних сил, а вектор направлен вдоль оси вращения согласно правилу буравчика.

Для полной работы за время можно записать:

Проекцию момента внешних сил можно выразить через угловое ускорение, используя основное уравнение динамики вращательного движения

Тогда, с учетом , получаем

Согласно закону сохранения энергии работа равняется приращению кинетической энергии твердого тела. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела равна

Между величинами, описывающими поступательное и вращательное движения, существует аналогия, которая облегчает усвоение и запоминание этих величин и связей между ними (см. таблицу).

Таблица

Аналогия между поступательным и вращательным движениями

Поступательное движение	Вращательное движение
Перемещение	Поворот
Скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
Масса	Момент инерции
Импульс	Момент импульса
Сила	Момент силы
Уравнение движения	Уравнение движения
Работа	Работа
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия

Дополнительная информация

http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 — Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики, Изд. Высшая школа, 1986 г. — стр. 86–93, §§  31-34, — точка приложения равнодействующей параллельных сил, центр тяжести.