ГЛАВА 30. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР

Если пренебречь сопротивлением элементов цепи, то энергия, запасенная первоначально в электрическом поле, должна перейти без потерь в энергию поля магнитного, а затем (опять же без потерь) энергию поля электрического. Это значит, что заряд конденсатора после смены его полярности не должен измениться по величине.

Далее процесс повторяется, но уже в обратном направлении. Через какое-то время ток в катушке достигает максимума, а заряд конденсатора становится равным нулю. Затем благодаря самоиндукции вихревое электрическое поле снова «подталкивает» заряды и заряжает конденсатор так, как в начальный момент времени. И далее колебания повторяются.

Для математического описания колебаний заряда в контуре давайте найдем зависимость заряда конденсатора от времени. Пусть q(t) – искомый заряд одной из пластин конденсатора (например, верхней на рис. 30.1–30.4) как функция времени. Для нахождения этой функции используем то обстоятельство, что сумма напряжений на конденсаторе и катушке равна нулю. Напряжение на конденсаторе определяется формулой (26.1), на катушке – законом самоиндукции (29.10), из которых получаем

где C и L – емкость конденсатора и индуктивность катушки. Учитывая, что ток в катушке представляет собой производную заряда конденсатора по времени (ведь через сечение проводника проходит именно тот заряд, который ушел с пластин конденсатора), имеем вместо (30.1)

Равенство (30.2) связывающее вторую производную заряда по времени и сам заряд является дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции q(t). Это уравнение совпадает с уравнением (14.3) для координаты тела, колеблющегося под действием пружины, при условии, что