Верхняя и нижняя грань числового множества. Теоремы существования и единственности

Теорема

Числовое множество имеет единственный sup и inf.

Доказательство

Пусть их два: M₁ и M₂, M₁ < M₂. Тогда для ε = (M₂ − M₁)/2 существует .

Последнее противоречит условию, что M₁ — верхняя грань.

Теорема

Всякое ограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнюю грань.

Доказательство

Пусть Y — множество верхних граней для X. Оно не пусто. Элементы этих множеств связаны неравенством: x ≤ y. По аксиоме 5 существует , для которого . Число т. е. существует , для которого .