Форма Пеано

Пусть функция имеет все производные до порядка n − 1 включительно в интервале (a − δ; a + δ), где δ > 0 и в точке x = a существует производная порядка n. Тогда

f^(k)(a) = T_n^(k)(a) ⇒ r_n^(k)(a) = 0 (0 ≤ k ≤n).

Лемма

Пусть функция имеет все производные до порядка n − 1 включительно в интервале (a − δ; a + δ), где δ > 0 и в точке x = a существует производная порядка n, причём

f(a) = f ′(a) = ... = f⁽ⁿ⁾(a) = 0.

Тогда

f(x) = o((x − a)ⁿ).

1) n = 1.

f(x) − f(a) = f ′(a)(x − a) + o(x − a).

f(a) = f ′(a) = 0 ⇒ f(x) = o(x − a).