Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Теорема 4

Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство

Все члены последовательности, кроме конечного их числа, принадлежат окрестности предела — ограниченному множеству.

Теорема 5

Всякая возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Доказательство

Всякая возрастающая, ограниченная сверху последовательность ограничена, поэтому имеет предельную точку A.

Тогда ∀ n > N → A − ε < a_N ≤ a_n ≤ A → |a_n − A| < ε