Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Теорема о единственности предела функции

Def.

Функция y = f(x) ограничена в окрестности (a), если

Теорема 2

Функция, имеющая предел в точке a, ограничена в (a).

Доказательство

Для ε = 1

|f(x)| − |A| ≤ |f(x) − A| < 1 → |f(x)| < |A| + 1 = M, ∀ x ∈ (a)

Теорема 3

Если функция имеет предел в точке a, то он только один.

Доказательство

Противное: два предела A и B. A < B. Выберем ε < 0,5|A − B|.

Тогда ∃ ⁰U_δ(а): B − ε < f(x) < A + ε, ∀x ∈ _δ (a) ⇒ B − A < 2ε противоречие с выбором ε < 0,5|A − B|.