Теорема о нуле непрерывной функции
Поскольку .
Из непрерывности функции в точке .
Если f(c) ≠ 0, то f(an) · f(bn) > 0, что противоречит построению an и bn.
Следствие 1
Любой многочлен нечётной степени имеет действительный корень.
Доказательство
При больших по модулю значениях многочлен сохраняет знак одночлена наибольшей степени, т. е. a2k+1x2k+1, принимает значения разных знаков в точках x = ±a. Тогда по теореме о нуле на отрезке [−a; a] многочлен имеет корень.