Теорема о структуре области значений непрерывной функции

Теорема 5

Областью значений непрерывной на отрезке функции y = f(x) является отрезок [A; B], где A = inf E_f, B = sup E_f.

Доказательство

Пусть c₁, c₂ ∈ [a; b]: f(c₁) = A, f(c₂) = B.

Рассмотрим функцию: y = φ(x) − C, где C — произвольная точка отрезка [A; B]. Тогда φ(c₁) = A − C < 0,

φ(c₁) = B − C > 0. По теореме ∃ c ∈ [c₁; c₂]: φ(c) = 0 → f(c) − C = 0 → f(c) = C.