Основные правила вычисления производных

Доказательство

Функция f(t) дифференцируема в точке

t₀ = φ(x₀),

поэтому по свойству дифференцируемой функции

f(t) − f(t₀) = f ′(t₀)(t − t₀) + α(t₀)(t − t₀),

где α(t) – функция, имеющая нулевой предел при t → t₀. Доопределяя её нулём при t = t₀, можно считать её непрерывной
при t = t₀ так, что при этом α(t₀) = 0.

Так как функция t = φ(x) дифференцируема в точке x = x₀, то также

φ(x) − φ(x₀) = φ′(x₀)(x − x₀) + β(x₀)(x − x₀),

где β(t) — функция, имеющая нулевой предел при x → x₀. Доопределяя её нулём при x = x₀, можно считать её непрерывной
при x = x₀ так, что при этом β(t₀) = 0.