Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом порядка n называется дифференциал от дифференциала порядка n − 1 при условии, что dx = const. Для него справедлива формула
dnf(x) = f (n)(x)(dx)n
Дифференциал второго порядка не обладает свойством инвариантности формы. В самом деле, пусть теперь x = x(t) некоторая функция, тогда в силу инвариантности формы первого дифференциала
df(x) = f ′(x)(dx)
Второй дифференциал
d2f(x) = d(f ′(x)dx) = d(f ′(x))dx + f ′(x)d(dx) =(f ″(x)dx) + f ′(x)d2x = f ″(x)(dx)2 + f ′(x)d2x
причём в общем случае второй дифференциал
d2x = x″(t)(dt)2 ≠ 0
d2f(x) = f ″(x)(dx)2 + f ′(x)d2x
4/35
