Основные правила вычисления интегралов

Теорема

Замена переменных в неопределённом интеграле

Если функция y = f(x) непрерывна на X, а x = φ(t), t ∈ T, φ(t) ∈ C¹(T) (то есть φ(t) непрерывна вместе с φ′(t) и φ(t) обладает обратной функцией), то интеграл ∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ′(t)dt.

Доказательство

Покажем, что левая и правая части имеют равные производные по одному и тому же аргументу.

.

Таким образом, интегралы в левой и правой частях равны.

Пример

$$\int{\sqrt{1-x^2}dx} = \begin{vmatrix} t = \arcsin{x} \\ x = \sin{t} \\ dx = \cos{t} dt \end{vmatrix} = \int{\sqrt{1 - \sin^2{t}} \cos{t} dt} = \int{\cos^2{t} dt} = $$ $$= \int{\frac{1 + \ce{cos}2t}{2}dt} = \frac{1}{2}\left (\int{dt} + \int{\ce{cos}2tdt}\right ) = \frac{1}{2}\left (\int{dt} + \int{\ce{cos}2t \frac{d2t}{2}}\right ) = $$ $$= \frac{1}{2}\left (t+\frac{1}{2} \ce{sin}2t\right ) + C = \frac{1}{2}\left (t + \ce{sin}t \ce{cos}t\right ) + C = $$ $$= \frac{1}{2}\left (\ce{arcsin}x + x \sqrt{1 - x^2}\right ) + C$$