Непрерывность функции
Пусть задана функция f(x) n переменных с областью определения D(f), лежащей в Rn и пусть точка а ∈ D(f). Функция f(x) называется непрерывной в точке x = a, если она удовлетворяет одному из двух следующих равносильных определений:
1) Для любой последовательности xk, лежащей в области определения f(x) и сходящейся к а, последовательность значений функции f(xk) сходится к f(а).
2) Для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех точек, лежащих в U(a, δ) ∩ D(f) выполняет неравенство
|f(x) − f(a)| < ε.
Два основных случая:
1) x = a — изолированная точка D(f). В этом случае функция f(x) автоматически непрерывна в точка x = a.
2) x = a — предельная точка D(f). В этом случае функция f(x) непрерывна в точке x = a тогда и только тогда, когда
Свойства непрерывных функций
1) Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x = a, то αf(x) + βg(x) также непрерывна в точке x = a.
2) Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x = a, то f(x)g(x) также непрерывна в точке x = a.
3) Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x = a, причем g(a) ≠ 0, то f(x)/g(x) также непрерывна в точке x = a.
