Интегрирование биноминальных дифференциалов

Интервал от дифференциального бинома (биномиального дифференциала)

∫ x^m(a + bxⁿ)^pdx.

(a и b — любые постоянные, а m, n и p — рациональные числа) был исчерпывающе исследован П.Л. Чебышевым. Он установил, что этот интеграл вычисляется в конечном виде тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1. p — целое

2. — целое

3. — целое

Подстановки Чебышева

Пусть дан интеграл вида: I = ∫ x^m(a + bxⁿ)^pdx.

1. p ∈ Z, x = t^r, где r — наименьшее кратное знаменателей дробей m и n.

Пример

I = ∫ x^3/2(1 + 4x^1/3)²dx.

Делаем замену x =t⁶.

I = ∫ t⁹(1 + 4t²)²6t⁵dt = 6 ∫ t¹⁴(1 + 4t²)²dt.