Степенной ряд. Теорема Коши-Адамара

Замечание

Говоря, что R ∈ [+0, +∞], полагают что

Таким образом, теорема Коши–Адамара гарантирует, что областью сходимости любого степенного ряда является интервал
(a − R, a + R) (и, возможно, точки его границы x = ±R), а вне промежутка [a − R, a + R] ряд расходится. При этом сам промежуток может вырождаться в точку x = a при R = 0, либо покрывать всю числовую прямую при R = +∞.

Заметим, что в точке x = a любой степенной ряд сходится к числуc₀. При этом есть ряды, которые сходятся только в точке
x = a, например, ряд 

Замечание

Есть другая форма вычисления радиуса сходимости:

В некоторых случаях ей пользоваться удобнее.