Свойства степенных рядов. Теорема о непрерывности суммы

Теорема

Свойства степенных рядов

Условие

R — радиус сходимости степенного ряда

Утверждение

∀ r ∈ (0, R) ряд сходится равномерно на [a − r, a + r].

Доказательство

Так как ∀ n ≥ 1 и x ∈ [a − r, a + r]   |c_n(x − a)ⁿ| ≤ |c_n|rⁿ, то на [a − r, a + r] степенной ряд мажорируется числовым рядом Указанный числовой ряд сходится, поскольку точка r ∈ [0, R) лежит в интервале абсолютной(!) сходимости. Применим знак Вейерштрасса, и теорема доказана.