Таблица разложений элементарных функций

Пример

Разложить в степенной ряд функцию f(x) = sin x.

Поскольку

(sin x)' = cos x, (sin x)'' = −sin x,

(sin x)⁽³⁾ = −cos x, (sin x)⁽⁴⁾ = sin x, ...

То при x = 0 получим

при n = 1, 5, 9, ... при n = 3, 7, 11, ... при n = 0, 2, 4, ...

Таким образом, все коэффициенты с чётными номерами обращаются в нуль, а с нечётными — в ±1, причём их знаки чередуются. Поэтому, по определению ряда Тейлора:

    x ∈ (−∞, +∞);    

 (в любом интервале x ∈ (−δ, +δ))

Отсюда следует, что наша функция раскладывается в ряд Тейлора в любом интервале, т. е. на всей числовой прямой.