Ряд Фурье от чётной и нечётной функции

Доказательство

Докажем, для примера, пункт 2). Пусть f(x) — нечётная функция, то есть f(−x) = f(x) Тогда коэффициенты a_n разложения в ряд Фурье можно представить в виде:

Сделав в первом интеграле замену t = −x и воспользовавшись нечётностью f(x), при всех n ∈ {0, 1, 2, …} получим:

С другой стороны, аналогичные действия с выражением для b_n дадут: