Теорема о сумме ряда Фурье

Доказательство

Эти следствия получаются применением теорем о почленном интегрировании и дифференцировании равномерно сходящихся рядов к заданному ряду Фурье.

Пример

Разложить в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [−π, π] функцию f(x) = e^αx и нарисовать график суммы ряда.

Запишем формулы для определения коэффициентов a_n и b_n:

Интегралы I₁ = ∫e^αx cos nx dx и I₂ = ∫e^αx sin nx dx берутся при помощи двукратного интегрирования по частям:

    аналогично,  

(Эти интегралы можно также взять при помощи формул Эйлера

 и