Неравенство Бесселя

Из равенства

полученного в доказательстве теоремы о минимизирующем свойстве коэффициентов Фурье, при \(\alpha_k = c_k\) и || φ_k|| = 1 получаем:

откуда, в силу неотрицательности выражения следует

Здесь n произвольно, а правая часть не зависит от n, следовательно, рядсходится, и переходя к пределу при

n → ∞, получаем неравенство Бесселя