Элементы общей теории рядов Фурье. Гильбертово пространство

Элементы общей теории рядов Фурье

Гильбертово пространство

Определение

Отображение, ставящее каждой паре (х₁, х₂) элементов линейного пространства V число, обозначаемое (х₁, х₂) ∈ , называется скалярным произведением, если

1) ∀ х₁, х₂ ∈ V   (х₁, х₂) = (х₂, х₁);

2) ∀ х ∈ V (х, х) ≥ 0,   причём (х, х) = 0   ⇔   x = 0;

3) ∀ х₁, х₂, х₃ ∈ V   (х₁ + х₂, х₃) = (х₁, х₃) + (х₂, х₃);

4) ∀ х₁, х₂ ∈ V   ∀ α ∈    (αх₁, х₂) = α(х₁, х₂).

Определение

Гильбертовым пространством называется бесконечномерное пространство со скалярным произведением.

Точнее, пространство Н-гильбертово, если

1) Н — линейное пространство со скалярным произведением в смысле предыдущего определения;

2) Н полно в смысле метрикит. е. любая фундаментальная¹ последовательность элементов Н сходится к элементу Н;

3) Н бесконечномерно, т. е. в нём ∀ n ∈ найдётся n линейно независимых элементов.

_______________________________________

¹ Последовательность называется фундаментальной, если

∀ ε > 0 ∃ N ∈ : ∀ n > N   ∀ p ∈ ⇒ ||х_n+p – х_n|| < ε.