Интегральный признак Коши-Маклорена

Теорема

Признак Коши-Маклорена

Пусть функция f(x) неотрицательна и не возрастает на [1; +∞). Тогда ряд f(n) и несобственный интегралf(x)dx сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство

Рассмотрим f(x) на сегменте [k − 1; k]. Поскольку f(x) не возрастает ⇒ f(k) ≤ f(x) ≤ f(k − 1) ⇒ f(x) ограничена  и монотонна  (по условию) на [k − 1; k] ⇒ интегрируема на нём. Имеемf(k)dx ≤f(x)dx ≤f(k − 1)dx или f(k) ≤f(x)dx ≤ f(k − 1). Просуммируем это неравенство от k = n + 1 до k = m

   (4)