Необходимое и достаточное условие сходимости ряда (Критерий Коши)

Следствие 1

Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то

   (2)

Доказательство

Если ряд сходится, то в частности из условия Коши при  m = n + 1 получим, что

т. е.

(∀ ε > 0 ∃ N = N (ε): ∀ n > N ⇒ |u_n+1| < ε), что равносильно тому, что

Таким образом, невыполнение условия (2) гарантирует расходимость ряда .

Однако выполнения условия = 0 сходится, то не достаточно для того, чтобы обеспечить сходимость ряда .