Числовые ряды

3. Единственность частичного предела

Докажем противное: у последовательности z_k есть две подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам:

= A,     = B,    A ≠ B.

Выберем в (1.8) параметр . Тогда все элементы последовательности z_k, начиная с номера N + 1, попадают в окрестность радиуса числа z_N+1. Однако, за пределами этой окрестности неизбежно окажется хотя бы одно из чисел A или B, вместе со своей ε–окрестностью, в которой, по предположению, находится бесконечно много элементов одной из подпоследовательностей. Полученное противоречие доказывает сходимость фундаментальной последовательности.

Поскольку, по условиям теоремы, последовательность S_n фундаментальна, она, по доказанному, имеет предел, который и является суммой ряда.