Функции комплексного переменного

Доказательство

Полностью аналогично доказательству соответствующих свойств пределов функций действительного пременного (1-й семестр). Например, пункт 2) доказывается так:

Пусть функции f(z) и (z) определены в области D ⊆ , содержащей точку a.

Тогда условие f(z) = b,     (z) = c по определению означает:

∀ ε > 0   ∃ δ1 > 0:   ∀ z ∈ D:   0 < |z − a| < δ1 ⇒ |f(z) − b| < ;

(2.1)

∀ ε > 0   ∃ δ2 > 0:   ∀ z ∈ D:   0 < |z − a| < δ2 ⇒ |(z) − c| < .

(2.2)

Число M, появившееся в правых частях последних неравенств (2.1) и (2.2), не влияет на равносильность (2.1) и (2.2) определению предела. Позже мы выберем значение этого числа, исходя из удобства.

Обозначим через δ = min {δ₁, δ₂}. Тогда ∀ z ∈ D: 0 < |z − a| < δ будут выполнены оба неравенства:

|f(z) − b| < ,   |(z) − c| < .

(2.3)

Оценим разность:

|f(z)(z) − bc| = |f(z)(z) − b(z) + b(z) − bc| ≤ |f(z)(z) − b(z)| + |b(z) − bc| = = |f(z) − b| · |(z)| + |b| · |(z) − c| < · (|(z)| + |b|).

(2.4)