Комплексные числа и действия над ними

Замечание 1.1

Надо заметить, что на плоскости точка, соответствующая числу 1, может быть получена как точка, удалённая от начала координат на 1, расположенная на луче, составляющем с положительным направлением оси Ox угол 2πk при любом целом

k ∈ :

1 = e2πki,   k ∈ .

(1.1)

Отсюда, так как любое число при умножении на 1 не изменяется, то

z = reiφ = rei(φ + 2πk),   k ∈ ,   r = |z|, φ = arg z.

(1.2)

При этом выражение φ + 2πk обозначают, в отличии от arg z, следующим образом:

Arg z = arg z + 2πk,   k ∈ .

(1.3)

Что же касается arg z, то его называют главным значением аргумента числа z и считают, что он изменяется в пределах того или иного полуинтервала длины 2π:

arg z ∈ (φ₀, φ₀ + 2π], при фиксированном φ₀ ∈ .

Например, часто удобно считать, что

arg z ∈ (0, 2π], или arg z ∈ (−π, π].