Сфера Римана. Расширенная комплексная плоскость

Риман предложил другую геометрическую интерпретацию множества комплексных чисел, он расположил их на сфере, которая и получила название сферы Римана.

Наиболее просто показать, как каждому комплексному числу ставится в соответствие точка сферы: расположить сферу «южным полюсом» (рис. 1.2) на начало координат комплексной плоскости, а из «северного полюса» провести лучи в каждую точку плоскости. Точку, в которой луч, идущий к числу z, пересечёт сферу, назовём точкой z на сфере Римана.

При этом легко заметить, что одна точка сферы, а именно «северный полюс», не соответствует ни одному комплексному числу. Но если мы заставим число «ползти» по комплексной плоскости к бесконечности (в любом направлении), то её образ на сфере Римана будет приближаться к «северному полюсу».

Рис. 1.2. Сфера Римана

Это позволило Риману назвать точку «северного полюса» бесконечностью и добавить к самой комплексной плоскости «точку бесконечности». Таким образом получилась расширенная комплексная плоскость .