Изолированные особые точки и их классификация. Примеры

Утверждение 9.2

Условие

Точка z = a изолирована особая точка функции f(z). (z) — аналитична в точке z = a и её окрестности.

Утверждение

1) Точка z = a — УОТ функции f(z) ⇒ f(z) · (z) имеет УОТ в z = a;

2) (a) ≠ 0. Точка z = a — ППk функции f(z) ⇒ f(z) · (z) имеет ППk в z = a.

Доказательство

Разложим f(z) и (z) в ряд Лорана в окрестности z = a. Так как (z) аналитична в z = a и её окрестности, то её ряд Лорана есть ряд Тейлора:

(z) = b_n(z − a)ⁿ.

С другой стороны, ряд Лорана функции f(z) может содержать слагаемые с отрицательными номерами:

f(z) = c_n(z − a)ⁿ.

Здесь

• k = 0, если z = a — устранимая особая точка;
• k > 0, если z = a — ППk.