Изолированные особые точки и их классификация. Примеры

1) Если k = 0, то произведение рядов

f · = (c₀ + c₁(z − a) + c₂(z − a)² + …) · (b₀ + b₁(z − a) + b₂(z − a)² + …)

не может содержать ни одного слагаемого с отрицательной степенью выражения (z − a). Поэтому ряд Лорана для f · есть ряд Тейлора, и (z − a) — УОТ функции f · .

2) Условие (a) ≠ 0 означает, что первый коэффициент её ряда Тейлора отличен от нуля:

(a) = b₀ ≠ 0.

С другой стороны, если z = a ППk функции f(z), то c_−k ≠ 0. И тогда произведение рядов

будет содержать только слагаемые со степенями выражения (z − a), равными сумме степеней (z − a) в перемножаемых рядах.

Очевидно, что не будет ни одного слагаемого со степенью (z − a) меньшей, чем (−k). При этом (−k)-ая степень получится при перемножении · b₀. И поскольку b₀ ≠ 0 и c_−k ≠ 0, то ряд Лорана для f · будет иметь вид

s_−k = c_−kb₀ ≠ 0.

По определению, z = a — ППk функции f · .