Изолированные особые точки и их классификация. Примеры

Тогда, поскольку степенные ряды (как и все абсолютно сходящиеся ряды) можно складывать почленно, ряд для f ± будет выглядеть так:

f(z) ± (z) = c_n(z − a)ⁿ + b_n(z − a)ⁿ = c_n(z − a)ⁿ + (b_n+ c_n)(z − a)ⁿ.

Таким образом, ряд Лорана для функции f(z) ± (z) имеет ровно столько же (и даже именно те же) слагаемых с отрицательными номерами, что и ряд для f(z), следовательно точка z = a особая точка для f(z) ± (z), причём именно того же типа, что и для f(z).

Пример 9.4

Так как первая дробь не имеет особенностей в точке z = 1, а вторая дробь не имеет особенностей в точке z = 2, то по утверждению 9.1 исходная функция в z = 1 имеет ту же особенность, что и , то есть полюс порядка 1, а в

z = 2 имеет ту же особенность, что и , то есть тоже полюс порядка 1.

Пример 9.5

, a ≠ b.

Так как функция не имеет особенностей в точке z = b, а функция не имеет особенностей в точке z = a, то по утверждению 9.1 их сумма в z = a имеет ту же особенность, что и , то есть полюс порядка 7 (ПП7), а в z = b имеет ту же особенность, что и , то есть существенно особую точку (СОТ).