Изолированные особые точки и их классификация. Примеры

Утверждение 9.1

Условие

Точка z = a изолирована особая точка функции f(z). (z) — аналитична в точке z = a и её окрестности.

Утверждение

f(z) ± (z) имеет в z = a особенность того же типа, что и f(z).

Доказательство

Разложим f(z) и (z) в ряд Лорана в окрестности z = a. Так как (z) аналитична z = a и её окрестности, то её ряд Лорана есть ряд Тейлора:

(z) = b_n(z − a)ⁿ.

С другой стороны, ряд Лорана функции f(z) может содержать слагаемые с отрицательными номерами:

f(z) = c_n(z − a)ⁿ.

Здесь

• k = 0, если z = a — устранимая особая точка;
• k < 0, если z = a — полюс порядка (−k);
• k = −∞, если z = a — существенно особая точка.