Изолированные особые точки и их классификация. Примеры

Замечание 9.1

Заметим, что из теорем 7.7 и 8.1 о представлении функции рядом Тейлора и Лорана, следует, что на границе области сходимости каждого из этих рядов обязательно должны быть особые точки раскладываемой функции.

Таким образом, зная где находится ближайшие к центру ряда (точке z = a) особые точки f(z), можно точно сказать, в каком круге (кольце) этот ряд будет сходиться. Например, в примере 8.2, функцию f(z) = (|a| < |b|) можно разложить в ряд

1) по степеням z в круге |z| < |a|;

2) по степеням z в кольце |a| < |z| < |b|;

3) по степеням z в окрестности бесконечности |z| < |b|;

4) по степеням (z − a) в кольце 0 < |z − a| < |b − a|;

5) по степеням (z − a) в окрестности бесконечности |z − a| > |b − a|;

6) по степеням (z − b) в кольце 0 < |z − b| < |a − b|;

7) по степеням (z − b) в окрестности бесконечности |z − b| > |a − b|;

8) по степеням (z − c) в круге |z − c| < min {|z − a|, |z − b|};

9) по степеням (z − c) в кольце min {|z − a|, |z − b|} < |z − c| < max {|z − a|, |z − b|};

10) по степеням (z − c) в окрестности бесконечности |z − c| > max {|z − a|, |z − b|}.