Поведение в окрестности устранимой особой точки

Теорема 9.1

Поведение в окрестности устранимой особой точки

Условие

f(z) аналитична в окрестности устранимой особой точки z = a.

Утверждение

Функцию f(z) можно доопределить в точке z = a так, что бы полученная функция стала аналитичной в z = a.

Доказательство

Поскольку ряд Лорана функции f(z) в окрестности устранимой особой точки имеет вид c_n(z − a)ⁿ, то есть является степенным рядом, то как любой степенной ряд он сходится к некоторой функции S(z) в некотором круге {z: |z − a| < R}, где радиус R определяется по формуле Коши–Адамара.

Без ограничения общности можно считать, что данный круг совпадает с окрестностью точки z = a, в которой f(z) аналитична.

По теореме 7.8 (о степенных рядах как рядах Тейлора) данный ряд является рядом Тейлора функции S(z) в круге

{z: |z − a| < R}. При этом, в силу замечания он является также рядом Лорана функции S(z) в кольце {z: 0 < |z − a| < R}. Но в этом кольце данный ряд является рядом Лорана функции f(z). Значит, S(z) ≡ f(z) в кольце {z: 0 < |z − a| < R}. При этом S(z) аналитична во всём круге, в том числе и в точке z = a. Таким образом, если доопределить f(a) значением S(a), мы получим функцию f(z), аналитичную в круге, включая точку a .